فراکتال ها چگونه تشکیل می شوند؟

به ضيافت فراکتال برويد!

دانلود مقالات ISI درباره بعد فراکتالی + ترجمه فارسی

بعد فراکتالی، پارامتری برای بررسی میزان پیچیدگی بین داده ها است و برخلاف بعد اقلیدسی که یک عدد طبیعی است، می تواند بصورت یک عدد حقیقی باشد. بعد فرکتالی نسبت شاخص آماری پیچیدگی که در یک الگو (به طور صریح، الگوی فراکتال) چگونه تغییرات طی بزرگ‌شدن تغییر می‌یابد فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. مندلبروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره فراکتال ها چگونه تشکیل می شوند؟ نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه به صورت خط مستقیم حرکت نمی کند. جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است. فراکتال ها از نظر روش مطالعه به فراکتال های جبری و فراکتال های احتمالاتی تقسیم می‌شوند. از طرف دیگر فراکتال ها یا خودهمانند اند یا خودناهمگرد هستند. در خودهمانندی، شکل جزء شباهت محسوسی به شکل کل دارد. این جزء، در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می‌کند و کل را به وجود می‌آورد. اما در خودناهمگردی شکل جزء در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی‌کند. ماندل برات و جولیا فراکتال هستند. معنی آن این است که محدوده بین مکان سیاه که ماندل برات است و محل احاطه کننده آن که ماندل برات نیست یک خط ساده یا یک منحنی (یک بعدی) نیست. اما درون یک دایره یا مربع نیز پر نمی شود (دوبعدی). آن قدر پیچیده و دارای جزییات است که بعد فراکتالی خواهد داشت. وقتیکه بزرگی یک فراکتال را دو برابر می کنید بلندی منحنی و بنا براین محل پوشیده شده فقط دو برابر نمی شود. تمام قسمت های قابل رویت قبلی از منحنی در درازا دو برابر می شود اما نقطه های برجسته جدید منحنی ها قابل رویت می شوند و به درازا می افزایند. سری ماندل برات ثابت شده که دارای دو بعد فراکتالی می باشد. یعنی اینکه هر بار که بزرگی را دو برابر می کنید در ازای در ازای محدوده چهار برابر می شود. همچنین سری مندل برات می تواند به پیچیدگی یک غراکتال شود. در ازای محدوده سری مندل برات بی نهایت است. می تواند هر طولی که شما بخواهید داشته باشد، اگر آن را با یک قطعه اندازه گیری که به اندازه کافی کوچک باشد اندازه بگیرید. واضح است که خط بیرونی دور ماندل برات گره کاملی را دور ماندل برات شکل می دهد. این خط که نشان دهنده دو متغیر در آن واحد است، دور لبه های بیرونی به آرامی می گردد و بعد از عقب به خودش وصل می شود. هیچ نقطه دیگری نیست که شمارش متغیر آن دو باشد به جز روی این خط و همه این نقاط روی این خط به وسیله نقاط دیگری که شمارش آن دو است به هم متصل می شوند. این مورد کمتر واصح است اما برای خطوط دیگر نیز به همین نسبت درست است. اگر روی خطی که ده متغیر را نشان می دهد متمرکز شوید، می توانید همه راه را روی سری ماندل برات طی کنید و برگردید به جایی که شروع کرده بودید. می توانید این کار را روی خطی که نشان دهنده صد یا هزار متغیر باشد انجام دهید. البته زمان زیادی طول می کشد.

در این صفحه تعداد 1394 مقاله تخصصی درباره بعد فراکتالی که در نشریه های معتبر علمی و پایگاه ساینس دایرکت (Science Direct) منتشر شده، نمایش داده شده است. برخی از این مقالات، پیش تر به زبان فارسی ترجمه شده اند که با مراجعه به هر یک از آنها، می توانید متن کامل مقاله انگلیسی همراه با ترجمه فارسی آن را دریافت فرمایید.
در صورتی که مقاله مورد نظر شما هنوز به فارسی ترجمه نشده باشد، مترجمان با تجربه ما آمادگی دارند آن را در اسرع وقت برای شما ترجمه نمایند.

Keywords: بعد فراکتالی; Bitcoin; Efficient market hypothesis; Efficiency index; Long-range dependence; Fractal dimension; Entropy;

مقالات زیر هنوز به فارسی ترجمه نشده اند.
در صورتی که به ترجمه آماده هر یک از مقالات زیر نیاز داشته باشید، می توانید سفارش دهید تا مترجمان با تجربه این مجموعه در اسرع وقت آن را برای شما ترجمه نمایند.

Keywords: بعد فراکتالی; Particle-size distribution; Soil-water characteristic curve; Fractal dimension; Drought year; Loess plateau;

دنیای علم و تکنولوژی

یک فراکتال الگویی بی انتهاست که خود را با مقیاس‌های متفاوت تکرار می‌کند. این خاصیت "خودتشابهی (Self-Similarity) " خوانده می‌شود. فراکتالها دارای پیچیدگی بی نهایت هستند، بدین معنی که می توانید روی اشکال مشابهی بطور بی انتها زوم کنید. از سوی دیگر ساختن فراکتالها بطور شگفت آوری ساده است. یک فراکتال با تکرار یک فرایند بطور متوالی ساخته می شود.

شش های ما مثالی واقعی از یک فراکتال طبیعی هستند. شاخه های نایژکها در شش مساحتی حدود 100 متر مربع را می سازند.

فراکتالهای هندسی خالص با تکرار یک فرایند ساده ساخته می شوند. برای مثال فراکتال سیرپینسکی (Sierpinsky) با تکرار مثلثی متساوی الاضلاع از شکل قبلی ساخته می شود. تعداد مثلثها در هر تکرار توانی از 3 است.

شکل زیر یک برنامه کامپیوتری در Small Basic برای تولید یک فراکتال سیرپینسکی و نتیجه اجرای آن را نشان می‌دهد. اجرای چنین برنامه ای برای تولید یک فراکتال می تواند کاملا زمان برباشد.

ترجیح الگوی فرکتال و کاربرد آن در درمان تخریب ماکولا

محققان دانشگاه اورگان گزارش دادند، کودکان قبل از سومین سال تولد خود، مانند بزرگسالان الگوهای فراکتال بینایی را ترجیح می دهند. این کشف در میان کودکان بزرگ شده در دنیای هندسه اقلیدسی، مانند خانه هایی با اتاقهایی که با خطوط مستقیم ساخته شده اند و به صورت ساده تکرار نشده اند، ظهور کرده است.

فراکتال ( Fractal ) ساختاری هندسی است که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین، همان ساختار نخستین به دست می آید. به گفتاری دیگر فراکتال ساختاری است که هر بخش از آن با کل‌اش همانند است. فراکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. به این ویژگی خودهمانندی گویند.

“بر خلاف انسانهای اولیه که خارج از خانه در ساوانا زندگی می کردند، انسانهای امروزی بیشتر عمر اولیه خود را در داخل این سازه های ساخته شده توسط انسان می گذرانند. بنابراین، از آنجا که کودکان به شدت در معرض این الگوهای فراکتال طبیعی، پیچیدگی کم تا متوسط ​​قرار ندارند، این اولویت باید از چیزی نشأت گرفته باشد که زودتر از این زمان رشد کرده یا ممکن است ذاتی باشد.”

تیم تحقیقاتی کشف کرد که چگونه تفاوت های فردی در سبک های پردازش، ممکن است روند روان بودن فراکتال را به حساب آورد. تحقیقات قبلی حاکی از آن بود که چنین ترجیحی توسط عوامل محیطی و رشد در طول عمر ایجاد می شود.

در این مطالعه، محققان شرکت کنندگان – 82 بزرگسال، 18 تا 33 ساله و 96 کودک، 3 تا 10 ساله – را در معرض تصاویر الگوهای فراکتال، دقیق و آماری قرار دادند که از لحاظ پیچیدگی در صفحه های رایانه وجود دارد.

فراکتال های دقیق بسیار مرتب شده اند به طوری که همان الگوی اساسی دقیقاً در هر مقیاس تکرار می شود و ممکن است دارای تقارن فضایی مانند آنچه در دانه های برف دیده می شود، باشد.

در مقابل، فراکتالهای آماری در ابعادی به روشی مشابه اما نه دقیق تکرار می شوند و دارای تقارن مکانی نیستند، همانطور که در خط ساحلی، ابرها، کوهها، رودخانه ها و درختان دیده می شود. هر دو شکل در هنر در بسیاری از فرهنگ ها ظاهر می شود.

“هنگام مشاهده الگوها، افراد از میان جفت تصویرها، تصویری را انتخاب می کنند که از نظر پیچیدگی متفاوت است. هنگام بررسی دقیق الگوهای فراکتال، انتخاب شامل جفت های مختلفی از عکس های دانه برف مانند یا شاخه های درخت است. برای فراکتال های آماری، انتخاب شامل انتخاب بین جفت تصاویر ابر مانند است.

“از آنجا که افراد تعادل سادگی و پیچیدگی را ترجیح می دهند، ما به دنبال تأیید این موضوع بودیم که مردم پیچیدگی کم تا متوسط ​​را در الگوهای تکراری آماری ترجیح می دهند و وجود نظم در الگوهای تکرار دقیق اجازه تحمل و ترجیح پیچیدگی الگوهای بیشتری را می دهد.

اگرچه تفاوت هایی در ترجیحات بزرگسالان و کودکان وجود داشت، روند کلی مشابه بود. الگوهای دقیق با پیچیدگی بیشتر ترجیح داده می شوند، در حالی که اولویت الگوهای آماری در پیچیدگی کم متوسط ​​به اوج می رسد و سپس با پیچیدگی اضافی کاهش می یابد.

در مراحل بعدی، تیم توانست این احتمال را که استراتژی های ادراکی یا تعصبات مربوط به سن باعث ترجیحات مختلف شده است، رد کند.

“تنظیمات ما برای فراکتال قبل از تولد سوم ما تنظیم شده است، که نشان می دهد سیستم بینایی ما برای پردازش بهتر این الگوها که از نظر ماهیت بسیار شایع هستند، تنظیم شده است.”

تجربه زیبایی از مشاهده فراکتال های طبیعت دارای مزایای بالقوه زیادی است، از کاهش استرس گرفته تا خستگی ذهنی.

“طبیعت این مزایا را به صورت رایگان فراهم می کند، اما ما به طور فزاینده ای خود را در محاصره مناظر شهری عاری از فراکتال می بینیم.” “این مطالعه نشان می دهد که استفاده از فراکتال در محیط های شهری می تواند از همان سنین پایین مزایای آن را فراهم کند.”

محققان از طرح های الهام گرفته از فراکتال برای ایجاد کاشت چشم جهت درمان تخریب ماکولا استفاده می کند.

برای کسب اطلاعات بیشتر به مؤسسه سلامت مغز دانا مراجعه کنید.

Kelly E. Robles et al. A shared fractal aesthetic across development, Humanities and Social Sciences Communications (2020). DOI: 10.1057/s41599-020-00648-y

فراکتال ها چگونه تشکیل می شوند؟

Hooman kh
نام: هومن خدایاری
محل اقامت: تهران
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۱/۲/۱۹ - ۲۱:۰۳

پست: 322 تشکر کرده: 29 -->
سپاس: 62

جنسیت:
تماس:

بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط Hooman kh » جمعه ۱۳۹۱/۴/۳۰ - ۰۳:۲۹

سلام به همگی.
می خواستم بدونم کسی در مورد شاخه جدید هندسه که به بررسی اشکال برخالی می پردازه خبر دارین؟گفته میشه که یه شاخه جدید از ریاضیات و هندسه هستش که خیلی عجیبه.لطفا هرکس اطلاعاتی داره بزاره نیاز دارم ممنون البته من خودم مثال هایی از اشکال فرکتالی می زارم.

meaning
عضویت : یک‌شنبه ۱۳۹۰/۱۱/۹ - ۱۳:۵۴

پست: 896 تشکر کرده: 207 -->
سپاس: 223

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط meaning » جمعه ۱۳۹۱/۴/۳۰ - ۰۵:۳۲

فك نكنم چندان جديد باشه آخه من اين تصاوير
رو روي جلد كتاب هندسه سال سوم نظام آموزشي
محمد رضا پهلوي فقيد مشاهده فراکتال ها چگونه تشکیل می شوند؟ كرده ام!
تصاوير فوق العاده زيباست

“ Two things awe me most, the starry sky above me and the moral law within me“.
Immanuel Kant
Critique of Practical Reason, 1788

Hooman kh
نام: هومن خدایاری
محل اقامت: تهران
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۱/۲/۱۹ - ۲۱:۰۳

پست: 322 تشکر کرده: 29 -->
سپاس: 62

جنسیت:
تماس:

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط Hooman kh » جمعه ۱۳۹۱/۴/۳۰ - ۱۲:۲۵

خیر احتمالا نقاشی بیش نبوده و مفهوممی نداشته.این شاخه به همراه توپولوژِی از شاخه های جدید هندسه هستن واکثرا محاسبات در اون ها بسیار پیچیده تر از اون هست که حتی بشه در دبیرستان توضیح داد.حتی ببعید بدونم در مقطع لیسانس هم تدریس بشه

Hooman kh
نام: هومن خدایاری
محل اقامت: تهران
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۱/۲/۱۹ فراکتال ها چگونه تشکیل می شوند؟ - ۲۱:۰۳

پست: 322 تشکر کرده: 29 -->
سپاس: 62

جنسیت:
تماس:

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط Hooman kh » جمعه ۱۳۹۱/۴/۳۰ - ۱۲:۲۷

احتمالا اون ها اشکالی بی معنی بوده که برای زیبایی کشیده شده بودن این شاخه به همراه توپولوژی کاملا جدید هستش.و عمزا در سطح دبیرستان نیست بعید بدونم در سطح لیسانس باشه چه برسه به دبیرستان

anTi-ИeuTЯin0
عضویت : جمعه ۱۳۹۰/۱۱/۷ - ۱۵:۱۵

پست: 774 تشکر کرده: 121 -->
سپاس: 239

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط anTi-ИeuTЯin0 » جمعه ۱۳۹۱/۴/۳۰ - ۱۲:۵۲

Hooman kh
نام: هومن خدایاری
محل اقامت: تهران
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۱/۲/۱۹ - ۲۱:۰۳

پست: 322 تشکر کرده: 29 -->
سپاس: 62

جنسیت:
تماس:

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط Hooman kh » جمعه ۱۳۹۱/۴/۳۰ - ۱۲:۵۷

بله درسته ولی همون طور که گفتم فرکتال در مقطع کارشناسی تدریس نمیشه.البته در رشته ای که شما گفتین یعنی ریاضیات محض اشاراتی بهش میشه ولی به طور کامل در کارشناسی گفته نمیشه به طور کامل در مقطع فوق تدریس میشه.

anTi-ИeuTЯin0
عضویت : جمعه ۱۳۹۰/۱۱/۷ - ۱۵:۱۵

پست: 774 تشکر کرده: 121 -->
سپاس: 239

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط anTi-ИeuTЯin0 » جمعه ۱۳۹۱/۴/۳۰ - ۱۷:۱۱

دُنبال چی هَستید از فراکتال،آشنایی؟مُطالعه عِلمی؟تحقیق؟زَمینه ای مدِّ نظره(مُهندسی-جُغرافی-. ؟)؟
---
صرفاً در باب آشنایی for all مطالب زیر چَند قسمت بوده مـ ـن یکیش کردم!یکی از سایتها را یادم نیست کُجا بوده از آن کپی کرده بودم(شرمَندهء آن سایت)..باقیش هم از سایت رُشده که در دو قِسمت شَرح داده بود..

فراکتال ها مفاهیم ریاضی هندسی هستند که در چند سال اخیر و به خصوص پس از کار های بندیت مندلبورت، ریاضیدان لهستانی بر روی آنها بسیار مورد توجه دانشمندان سایر علوم قرار گرفته است. مفاهیمی که خواص آنها به اندازه شان بستگی ندارد، در فیزیک، شیمی، زیست شناسی، زمین شناسی و پزشکی بسیار دیده شده اند و از خواص آنها می توان برای درک بهتر پدیده های مورد نظر استفاده کرد. تاکنون تعریف دقیقی از ماهیت فراکتال ها نشده است اما از یک دیدگاه کلی می توان گفت که فراکتال موجودی هندسی است که قوانین کلی حاکم بر آن وابسته به مقیاسی که در آن کار می کنیم نیست. یعنی جزئیات آن شبیه کل هستند. فراکتال ها جزئیات نامحدودی دارند که دارای ساختاری خود متشابه در مقادیر مختلف بزرگنمایی، هستند. در اکثر موارد یک قانون و قاعده خاصی به میزان نامحدودی تکرار می شود تا یک طرح فراکتالی پدید آید. واژه فراکتال در سال 1975 توسط « بندیت مندلبورت» پدر فراکتال، ابداع شد. ریشه این لغت، فراکتال ها چگونه تشکیل می شوند؟ عبارت لاتین Fractus به معنی «شکسته» است. پیش از این که مندلبورت این واژه را ابداع کند، برای چنین اشکالی، از واژه «منحنی های هیولایی» استفاده می شد. فراکتال ها را عموما موجوداتی ریاضی می پندارند و این به علت مشهور بودن ساختار «فراکتال هندسی» است اما نشان داده شده است که بسیاری از وضعیت هایی که هندسه کلاسیک ( اقلیدسی ) از توضیح آن ها عاجز است، توسط فراکتال ها، به راحتی بیان می شود. به همین دلیل فراکتال ها کاربرد های بسیاری در علوم پیدا کرده اند، از فیزیک و شیمی و هواشناسی گرفته تا بیولوژی ملکولی و پزشکی، از قوانین حاکم بر فراکتال ها استفاده می شود.

فراکتال های هندسی

ساده ترین نوع فراکتال، فراکتال کانتور است. پاره خطی به طول یک واحد در نظر بگیرید و طول آن را به سه قسمت تقسیم کرده و قسمت وسطی را حذف کنید. حالا دو خط داریم که طول آن ها یک سوم طول اولیه است. همین عمل را با هر کدام از این پاره خط ها انجام می دهیم. یعنی طول هر کدام را ثلث می کنیم و قسمت وسطی را حذف می کنیم. می توان با کامپیوتر برنامه ای نوشت که این عملیات را چندین بار پیاپی انجام دهد. اگر این عملیات را بی شمار بار انجام دهیم ( کاری که از عهده کامپیوتر خارج است ) شکلی به دست می آید که مجموعه کانتور فراکتال ها چگونه تشکیل می شوند؟ نام دارد. اگر به کل شکل نگاه کنیم، ساختاری می بینیم که تا بی نهایت ادامه دارد. اگر به سمت راست یا چپ خط دوم شکل نگاه کنیم، ساختاری میبینیم که باز هم تا بی نهایت ادامه یافته و در عین حال، کاملا شبیه شکل کلی است. چنین ساختار هایی که هر جز آن با کل مجموعه یکی است و فقط در مقیاس( Scale ) تفاوت دارند را ساختار های خود متشابه Self-similar می گویند.

یکی از مشهورترین انواع فراکتال ها توسط «هلگ فون کخ» در سال 1904 طراحی شد، در این نوع فراکتال، ابتدا یک پاره خط به طول یک واحد در نظر می گیریم و آن را به سه قسمت تقسیم می کنیم. سپس به جای ضلع وسط دو ضلع مثلث متساوی الاضلاع را قرار می دهیم و این کار را همین طور ادامه می دهیم. فراکتال کخ نیز یک نوع فراکتال خود متشابه است. اگر این عمل را روی اضلاع یک مثلث متساوی الاضلاع انجام دهیم، شکل بسیار زیبایی پدید می آید که «دانه برف کخ » نام دارد. فراکتال سر پینسکی یک فراکتال هندسی است. اگر مثلث وسطی یک مثلث متساوی الاضلاع را حذف کنیم و برای همه مثلث های باقی مانده هم این عمل را تا بی نهایت انجام دهیم، مجموعه زیبایی از مثلث های پر و خالی به وجود می آید که فراکتال سر پینسکی به دست خواهد آمد. در همه انواع فراکتال های خود متشابه برای تبدیل هر جز به کل یا اجزای کوچکتر، باید همه ابعاد به یک مقیاس بزرگ شوند. اما نوع دیگر فراکتال را خود الحاقی ( Self-Affine ) می گویند. در این نوع فراکتال ها برای تبدیل شدن به مقیاس بزرگتر باید شکل در هر راستا به ضرایب مختلفی بزرگ نمایی شود. DNA زنجیر طویلی از اسید های نوکلوئیک است که اطلاعات ژنتیکی را در خود ذخیره کرده است. اسید های نوکلوئیک دو دسته اند، پریدین و پریمیدین. اگر در طول یک زنجیره DNA برای هر پریدین یک واحد بالا برویم و برای هر پریمیدین یک واحد به پایین، نموداری به دست می آید که داده های زیادی به ما می دهد. به این نمودار ولگشت DNA ( DNA Walk ) می گویند. ولگشت های DNA نمونه های خوبی برای فراکتال های خود الحاقی هستند. اکثر ساختار های فراکتالی در طبیعت مثل ریشه های گیاهان یا شاخه های درخت ها، ساختار های خوشه ها و کهکشان های کیهان، رشد یک سطح، سوختگی های روی کاغذ، شکستگی های DVD ها و ساختار های زمین شناسی به خصوص اشکال زیبایی که در غار ها مشاهده می شود، خواص فراکتالی خود الحاقی دارند. یکی از زیباترین نمونه های فراکتالی گل کلم است.

هندسه فراکتالی یا هندسه فرکتال ها پدیده ایست که چندی پیش پا به دنیای ریاضیات گذاشت. پیش از اینکه مندلبورت این واژه را ابداع کند، برای چنین اشکالی، از واژه «منحنی های هیولایی» استفاده می شد. واژه فراکتال مشتق گرفته شده از واژه لاتینی فراکتوس به معنای سنگ است که به شکل نامنظم شکسته و خرد شده. که در سال 1976 توسط ریاضیدان لهستانی به نام بنوئیت مندلبرات وارد دنیای ریاضیات شد.

ابعاد فراکتال ها

یکی از نکات بسیار جالب در بررسی فراکتال ها، بعد آنهاست. مثلا می دانیم که مربع یک شی ریاضی دو بعدی است. این بعد دوم را می توان اینگونه به دست آورد که از تقسیم هر ضلع مربع به N قسمت مساوی و وصل کردن نقاط رو به رو به هم، N2 مربع به دست می آید که اندازه هرکدام N2 / 1 برابر مساحت مربع اولی است. این شکل، یک ساختار فراکتالی دارد که هر ضلع مربع های کوچک با ضریب N به اندازه ضلع مربع اصلی تبدیل می شود. بنابراین بعد هر جسم را می توان اینگونه تعریف کرد: نسبت لگاریتم تعداد اشکال خود متشابه به لگاریتم عامل بزرگنمایی log N2/log N=2=D

حال اگر همین کار را با مجموعه کانتور انجام دهیم چون با دو مجموعه کانتور به طول 3 برابر مجموعه های اولی ساخت داریم:

D = log 2 / log 3 = 0/631

یعنی یک مجموعه کانتور،موجودی 0.631 بعدی است.

حال اگر به شکل مجموعه کانتور نگاه کنیم ما می بینیم که این مجموعه نه یک خط کامل است که بعد یک داشته باشد و نه یک نقطه که بعد صفر داشته باشد بلکه موجودی بین آن دو است.

برای فراکتال کخ که بیشتر از خط (بعد1) و کمتر از صفحه (بعد2) است،داریم: D = log 4/log 3=1/262

یا برای فراکتال سرپینسکی که فضای بیشتری را نسبت به فراکتال کخ می پوشاند، اما به یک صفحه کامل نمی رسد، داریم:

D = log3 / log2 = 1/58

در فراکتال ها این بعد فراکتالی است که مهم است و نه مقیاس. زیرا در هر اندازه ای، این بعد فراکتالی حفظ می شود و بیانگر خاصیت اصلی فراکتال است. همین امر کاربرد فراکتال ها را در علم امروزی زیاد کرده است. در کیهان شناسی، ساختار یک کهکشان با یک خوشه کهکشانی (مجموعه ای از هزاران کهکشان) و یک خوشه نیز با یک ابر خوشه (مجموعه ای از هزاران خوشه کهکشانی) قابل قیاس است. رشد نمونه های میکروبیولوژیکی در محیط های کشت و یا نحوه کارکردهای پلیمرهای صنعتی (مثل لاستیک ها) و پلیمرهای حیاتی (مثل DNA و پروتئین ها) از مواردی هستند که دانش فراکتال ها را می توان در فراکتال ها چگونه تشکیل می شوند؟ آنها به کار برد.

سه تکنیک معمول برای ساخت فراکتال عبارتند از:

فراکتالهای زمان گریز: این فراکتالها با یک رابطه بازگشتی در هر نقطه در فضا تعریف می شوند (مانند صفحه مختلط). مثالهایی از این نوع عبارتند از مجموعه مندلبرات، مجموعه جولیا و فراکتال کشتی شعله ور و فراکتال لیاپونوف.

سیستم توابع تکراری: این فراکتالها یک قاعده جایگزینی هندسی ثابت دارند. مجموعه کانتور، فرش سیر پینسکی، منحنی پینو، برفدانه کخ، مربع T، اسفنج منگر برخی از مثالهای این نوع فراکتال هستند.

فراکتالهای تصادفی: به جای فراینهای قطعی، با فرایندهای تصادفی ساخته می شوند.

طبقه بندی فراکتال ها

فراکتالها می توانند بر حسب خود تشابهیشان نیز طبقه بندی شوند. سه نوع خود تشابهی در فراکتالها یافته می شود:

خود تشابهی های دقیق (کامل): قویترین نوع خود تشابهی است، فراکتال در مقیاسهای مختلف یکسان ظاهر می شود. فراکتال های تعریف شده به وسیله سیستم توابع تکراری، اغلب خود تشابهی دقیق را نشان می دهند.

شبه خود تشابهی ( نیمه خود تشابهی): یک حالت ناکامل از خودتشابهی است، فراکتال در مقیاسهای مختلف، تقریبا (نه دقیقا) یکسان ظاهر می شود. فراکتالهای تعریف شده به وسیله روابط بازگشتی، معمولا شبه خودتشابهند ولی خود تشابه کامل نیستند.

خود تشابهی آماری: ضعیفترین نوع خود تشابهی است، فراکتال اندازه های عددی یا آماری دارد که در سرتاسر مقیاسها حفظ می شوند. بیشتر تعاریف عوامانه متعارف فراکتال، بر شکلی از خودتشابهی آماری دلالت می کند.

فراکتالهای تصادفی نمونه ای از فراکتالهایی هستند که به شکل آماری خودمشابه هستند، اما خودمشابه کامل یا شبه خود مشابه نیستند.
فراکتال یک شکل یا الگوی هندسی ساخته شده از قسمت های یکسان است که در برگشت به داخل جزئیات نشان دهنده الگوی کلی است.
به عبارت دیگر به هر جز از شی که نگاه کنیم تصوری از کل شی در ذهن ما ایجاد می شود. واژه فراکتال در سال 1975 توسط بنویت مندلبرات برای توصیف اشیا هندسی پیچیده که درجه بالایی از خودتشابه دارد تشکیل شده است.
واحد اساسی برفدانه کخ که توسط هلگ ون کخ ریاضیدان (1870-1824) رسم شده مثلث متساوی الاضلاعی است که می تواند وسعت پیدا کند اما در عین حال هنوز شبیه الگوی اولیه است. هر قسمت از برفدانه در هر مقیاس از آن که دیده می شود به طور یکنواخت در کنارهم واقع شده اند. بعضی از فراکتالهای فوق العاده قابل ملاحظه مجموعه های جولیا است که توسط ریاضیدان فرانسوی گالتون جولیلا اختراع شد. مجموعه جولیا با کاربرد قانون غیر خطی مکرر تولید می شود که براساس یک تابع قانون مربغی خیلی ساده است.
F(C) = 2Z + CZ
که در آن Z یک نقطه روی صفحه Xoy است و C یک نقطه ثابت با هر دو مولفه X و Y است. CX و CY نتایج خیلی جالب و شگفت انگیز بودند. هیچکس گمان نمی کرد که چنین تابع ساده ای بتواند به شکل گیری تصاویر پیچیده ای که تحلیل و تفسیر آن کار آسانی نیست منجر شود.
نظریه ریاضی مدرن که به طور ریشه ای از هندسه اقلیدسی باستانی جدا می شود، هندسه فراکتالی است که به توصیف اشیائی می پردازد که خود متشابه یا متقارن اند. این بدان معناست که وقتی این اشیا بزرگنمایی شوند به نظر می رسد که بین اجزای آنها تشابه دقیقی برقرار است و این شباهت جزء به جزء تا بینهایت ادامه می دهند.
اما ماهیت فراکتالها که در واقع در خود کلمه منعکس شده، این واژه توسط مندلبرات ریاضیدان از فعل لاتین شکستن گرفته شده و منسوب به صفت فراکتوس به معنی سنگی که به طور نامنظم شکسته و خرد شده است می باشد.
فراکتالها شکلهایی هستند که برعکس شکهای هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکلها اولا سراسر نامنظم اند، ثانیا میزان بی نظمی آنها در همه مقیاس ها یکسان است.

به ضيافت فراکتال برويد!

فراکتال ها مبحثي در رياضيات و هندسه هستند که براي بعضي از افراد جذابيت خاصي دارند. اين اشکال، از شکل هايي به شکل خودشان ساخته مي شوند. يا به عبارت ديگر، اگر يک شکل کامل را به عنوان شکل اصلي در نظر بگيريم و آن را به درستي تجزيه کنيم، شکل اصلي را در آن مشاهده خواهيم کرد. در واقع، فراکتال ها، اشکال خود تکرارشونده هستند. «مندلبروت»(2) در کتاب خود به نام «هندسه فراکتالي طبيعت»، فراکتال ها را اين گونه تعريف مي کند:

به ضيافت فراکتال برويد!

به ضيافت فراکتال برويد!

نويسنده: بهمن اصغرزاده امين

فرکتال ها اشکال شگفت انگيزي هستند که در فراکتال ها چگونه تشکیل می شوند؟ هر جزئي از آنها، مي توان تصوير کل را مشاهده کرد. جالب آن که با برنامه هاي رايانه اي ساده، مي توان اين اشکال را آفريد و از ديدن جلوه هاي گوناگون آنها لذت برد.

فراکتال ها مبحثي در رياضيات و هندسه هستند که براي بعضي از افراد جذابيت خاصي دارند. اين اشکال، از شکل هايي به شکل خودشان ساخته مي شوند. يا به عبارت ديگر، اگر يک شکل کامل را به عنوان شکل اصلي در نظر بگيريم و آن را به درستي تجزيه کنيم، شکل اصلي را در آن مشاهده خواهيم کرد. در واقع، فراکتال ها، اشکال خود تکرارشونده هستند. «مندلبروت»(2) در کتاب خود به نام «هندسه فراکتالي طبيعت»، فراکتال ها را اين گونه تعريف مي کند: «يک شکل هندسي ناصاف يا گسسته که بتواند به قسمت هايي تقسيم شود که هر کدام از آنها (حداقل تا حدودي) يک نسخه کوچک شده از کل باشد.»
فراکتال از واژه لاتين Fractus به معناي گسيخته، شکسته و. گرفته شده است. شکل فراکتال ها را هر چقدر بزرگنمايي کنيد، باز قسمتي از شکا اصلي را مي توان در آن ديد. از اين رو شايد بتوان گفت به نوعي جاي دادن بي نهايت در يک فضاي محدود است که به نوعي زيبايي خلقت است.
فراکتال ها را به راحتي مي توان در طبيعت پيدا کرد. يکي از بارزترين نمونه هاي آن، گل کلم است. نمونه ديگر، درخت است. اگر به شاخه هاي آن دقت کنيد، مي توانيد تا حدودي يک توالي را ببينيد. حالا به برگ هاي آن دقت کنيد (در صورتي که پهن برگ باشد). در آن صورت مي بينيد که خطوط داخل آن هم به نوعي تکرار شده اند. نمونه هاي ديگر، سنگ هاي دامنه کوه، دانه هاي برف، کلم بروکلي، شبکه رگ ها و سرخس است. اگر از فاصله دور به سواحل نگاه کنيد و مرتبا فاصله خود را کم کنيد، تکرار شدن حدودي خطوط ساحل در خودش را خواهيد ديد.
ترسيم فراکتال ها، با کاغذ و قلم کار ساده اي نيست، اما با کمک نرم افزارهاي رايانه اي، اين کار بسيار ساده مي شود و در کسري از ثانيه مي توان شکل کامل آن را مشاهده کرد و در صورت دلخواه تغييراتي در ضرايب داد و نتيجه را مشاهده کرد. براي کار با فراکتال ها، نرم افزارهاي متعددي نوشته شده است که مي توانيد از هر کدام به دلخواه خود استفاده کنيد. دو نرم افزار که کار با فراکتال ها را ساده مي کنند، Fraqtive و Xaos هستند.